Preço e replicação estática das opções fx quanto

Câmbio.

Autor de Christian Ekstrand.

Até este ponto, consideramos apenas fluxos de caixa que dependem de uma única moeda. Nós agora cobrimos a extensão multi-moeda. As pedras de construção fundamentais em tal teoria são as taxas de câmbio X t ij que representam o valor do tempo t na moeda j de uma unidade de moeda i.

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Christian Ekstrand 1 autor 1. Estocolmo Suécia.

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Limites de preços nas opções Quanto.

12 Páginas Postado: 4 Feb 2011 Última revisão: 27 de abril de 2013.

Yukihiro Tsuzuki.

Universidade de Tóquio - Escola de Pós-Graduação em Economia.

Data escrita: 26 de abril de 2013.

Este artigo propõe limites de preços independentes do modelo nas opções quanto e as estratégias de replicação correspondentes, que são estáticas, cujas carteiras consistem em opções plain-vanilla no ativo estrangeiro e na taxa FX. Como eles são derivados de modelo de forma independente, pode-se gerar lucros sem risco se as opções quanto forem cotadas fora dos limites. Além disso, os limites de preços podem ser melhorados se os contratos líquido quanto, tais como os contratos avançados quanto são utilizados para replicação. Os exemplos numéricos mostram nossos limites de preços comparando com a fórmula de preços Black e com um ajuste ad-hoc.

Palavras-chave: opção qunato, limites de preços, super-replicação, sub-replicação, independente do modelo.

Yukihiro Tsuzuki (Autor do Contato)

Universidade de Tóquio - Graduate School of Economics ()

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Quanto Forwards e Opções.

Os quantos são melhor descritos através de um exemplo. Considere o índice Nikkei 225 Stock Average, que é, naturalmente, medido em iene. Um quanto do índice Nikkei é uma nova entidade que definimos como sendo o valor do índice mensurado em dólares norte-americanos. Com mais detalhes, se o índice em um determinado dia tiver um valor de Ґ18000, este número é tratado como $ 18000, em vez de Ґ18000. Na prática, este número é muitas vezes multiplicado por uma constante, que é considerada como uma taxa FX fixa.

Para valorar um derivado baseado em um quanto, é preciso levar em consideração a taxa de FX. Portanto, existem duas fontes de risco e um modelo de dois fatores deve ser usado. Esta é a diferença básica entre derivados em quantos e aqueles em subjacentes não-quanto, conforme descrito na seção a seguir.

Fórmulas e amp; Detalhes técnicos.

Damos uma descrição breve e simples sobre a valorização de encaminhamentos e opções quanto. Derivação matemática detalhada e rigorosa pode ser encontrada no livro de Baxter e Rennie [1]. A avaliação dos forwards quantos também é tratada em Hull [2].

Para maior clareza, usamos o índice de ações japonês, Nikkei 225 Stock Average, para descrever a avaliação de quanto forwards e opções. Definir:

: Índice Nikkei medido em iene no tempo.

: Taxa FX: valor em dólares por unidade de ienes.

: rendimento de dividendos no índice Nikkei.

: taxa doméstica ($) livre de risco.

: taxa livre de risco do iene japonês.

Tal como no modelo Black-Scholes, e assumem-se que seguem as distribuições lognormal e as taxas, e são assumidas como constantes durante a vida de um contrato a termo ou uma opção no índice.

Como um quanto, o índice Nikkei tem um preço de em dólares americanos. A variável envolve duas fontes de risco: o risco associado ao índice e o risco associado à taxa FX. Pode-se mostrar que este quanto não é negociável no mercado do dólar dos EUA. Para avaliar os derivados do quanto, é necessário construir uma medida de probabilidade "neutra em risco", segundo a qual o risco de taxa de FX e o risco do subjacente são "neutros em risco" (ou seja, ambos os processos estocásticos e são martingales com respeito a essa medida de probabilidade). Pode provar-se que tal medida existe e é única. Digite esta medida de probabilidade. Podemos então anotar o preço a prazo do quanto acima e os valores justos de chamadas de estilo europeu e opções de colocação e binário da seguinte forma.

Seja o preço de entrega de um contrato a prazo no índice Nikkei. Então, pode-se mostrar que, eliminando as oportunidades de arbitragem,

e são as volatilidades anualizadas do índice Nikkei e da taxa FX, respectivamente, e.

é a correlação de log e log.

Opções de chamada e estilo de estilo europeu.

Seja o preço de exercício de uma opção de chamada de estilo europeu no índice Nikkei. Em seguida, o valor justo de uma opção de chamada no índice é dado por.

Opções binárias (digitais).

Uma opção binária tem, no vencimento, uma recompensa de um valor fixo (ou o próprio recurso) ou nada, dependendo se o ativo subjacente está acima ou abaixo do nível de ataque.

1. Dinheiro ou nada liga.

onde é o pagamento em dinheiro no final do prazo.

2. Dinheiro ou nada colocado.

3. Atribuição de ativos ou nada.

4. Ativo ou nada colocado.

Funções FINCAD.

Quanto Forwards.

aaQuanto_fwd (price_ufor, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for, cost_hldg, stat):

Calcula as estatísticas de preço e de risco a prazo de um bem assim.

Quanto Opções.

As seguintes funções retornam as estatísticas de valor justo e de risco para a versão quanto de diferentes tipos de opções (consulte os documentos correspondentes para diferentes tipos de opções para obter mais informações):

aaQuanto_Asian (price_ufor, ex_for, FX_fix, média, sam_freq, d_exp, d_v, d_aver, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)

aaQuanto_asian_basket_fs_MC (asian_bskt_info, ex, curr_tbl, corr_matrix, d_v, d_exp, d_aver, sam_seq, option_type, num_rnd, table_type)

aaQuanto_asian_basket_MC (asian_bskt_info, ex, curr_tbl, corr_matrix, d_v, d_exp, d_aver, sam_freq, option_type, num_rnd, table_type)

aaQuanto_Barrier_am (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, rebate, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, optimize, stat)

aaQuanto_Barrier_dbl (d_v, d_exp, price_ufor, ex_for, FX_fix, bar1, bar2, rebate_up, rebate_dn, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, otimizar, option_style, stat)

aaQuanto_Barrier_dbl_bin (d_v, d_exp, price_ufor, ex_for, FX_fix, bar1, bar2, rebate_exp, rebate_up, rebate_dn, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, optimize, stat)

aaQuanto_Barrier_eu (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, rebate, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)

aaQuanto_basket_MC (bskt_info, ex, curr_tbl, corr_matrix, d_v, d_exp, option_type, num_rnd, table_type)

aaQuanto_Berm (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_exp, d_v, d_berm_list, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, iter, stat)

aaQuanto_BIN2 (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for, rate_dom, cost_hldg, option_type, iter, stat)

aaQuanto_bin_cash (price_ufor, ex_for, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, div_yield, cash, option_type, stat)

aaQuanto_bin_asset (price_ufor, strk_level, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, div_yield, option_type, stat)

aaQuanto_Binary_hit_asset (price_ufor, bar, FX_fix, d_v, d_exp, bar_type, paytime_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)

aaQuanto_Binary_hit_cash (price_ufor, bar, FX_fix, d_v, d_exp, bar_type, cash, paytime_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)

aaQuanto_Binary_in_asset (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)

aaQuanto_Binary_in_cash (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, dinheiro, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)

aaQuanto_Binary_nohit_asset (price_ufor, bar, FX_fix, d_v, d_exp, bar_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)

aaQuanto_Binary_nohit_cash (price_ufor, bar, FX_fix, d_v, d_exp, bar_type, dinheiro, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)

aaQuanto_Binary_out_asset (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)

aaQuanto_Binary_out_cash (price_ufor, ex_for, FX_fix, barra, d_v, d_exp, bar_type, dinheiro, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)

aaQuanto_Chooser (d_v, d_exp_opt, price_ufor, d_exp_call, ex_call, d_exp_put, ex_put, FX_fix, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)

aaQuanto_Compound (d_v, d_exp_opt, option_type_c, ex_cmpd, d_exp_u, price_ufor, ex_u, FX_fix, option_type_u, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)

aaQuanto_FSopt (d_v, d_issue, d_exp, price_ufor, ex_scaling, FX_fix, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)

aaQuanto_fwd (price_ufor, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for, cost_hldg, stat)

aaQuanto_Geo_Asian (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_v, d_exp, d_aver, média, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, sam_freq, option_type, stat)

aaQuanto_Geo_Asian_fs (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_v, d_exp, d_aver, média, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, sam_seq, option_type, stat)

aaQuanto_Geo_aver_strk (price_ufor, FX_fix, d_v, d_exp, d_aver, média, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, sam_freq, option_type, stat)

aaQuanto_Geo_aver_strk_fs (price_ufor, FX_fix, d_v, d_exp, d_aver, média, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, sam_seq, option_type, stat)

aaQuanto_Look (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_v, d_exp, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)

aaQuanto_opt (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for, rate_dom, cost_hldg, option_type, stat)

Funções de busca de raiz para Quantos.

Muitas dessas funções FINCAD têm suas versões inversas (descoberta de raiz):

Esses parâmetros "_ix" (i mplied x, onde x é qualquer parâmetro de entrada) encontram o valor de qualquer parâmetro de entrada para um determinado valor de uma estatística de saída. Mais detalhes podem ser encontrados no documento de Referência de Matemática FINCAD de funções de Pesquisa de Raiz Geral (_ix).

Descrição das Entradas.

Uma constante positiva.

Data de validade da opção.

A volatilidade anualizada do ativo subjacente (estrangeiro).

A volatilidade anualizada da taxa FX.

A correlação entre o retorno do subjacente e o da taxa de FX. Veja detalhes na última seção.

Estas taxas são cotadas numa base agendada anualmente, Act / 365 (fixa). O parâmetro rate_dom é a taxa de juros interna livre de risco relevante, rate_for é a taxa livre de risco estrangeiro relevante e div_yield a taxa de pagamento de dividendos do ativo subjacente (estrangeiro).

Veja a descrição da saída nos exemplos abaixo.

Preço de greve de uma opção.

A recompensa no vencimento de uma opção binária se a opção estiver no dinheiro. Usado nas funções aaQuanto_bin_cash () e aaQuanto_bin_asset ().

O tipo de opção:

Descrição das saídas.

O valor justo da opção.

delta do subjacente.

A taxa de variação no valor justo do quanto por unidade de variação no valor atual do ativo subjacente. Esta é a derivada do preço quanto ao valor atual subjacente.

Semelhante ao delta de subjacente, mas a derivada é em relação à taxa de FX.

gama de subjacente.

A taxa de variação no valor do delta do subjacente por unidade de variação no valor do activo subjacente. Esta é a segunda derivada do preço quanto ao valor atual subjacente.

Semelhante à gama de subjacente, mas a derivada é em relação à taxa de FX.

A taxa de variação no valor justo do quanto por dia diminui o tempo de opção. Este é o negativo da derivada do preço quanto ao tempo de opção (em anos), dividido por 365.

vega do subjacente.

A taxa de variação no valor justo do quanto por variação de 1% na volatilidade do preço do ativo subjacente (estrangeiro). Esta é a derivada do preço quanto a essa volatilidade, dividida por 100.

Semelhante a vega, mas o derivado é em relação à volatilidade da taxa de FX.

rho de doméstico.

A taxa de variação no valor justo do quanto por variação de 1% na taxa livre de risco da moeda nacional, taxa_dom. Esta é a derivada do preço da opção em relação ao rate_dom, dividido por 100.

Semelhante ao rho de doméstico, mas o derivado é em relação à taxa livre de risco doméstico, rate_for. rendimento de dividendos, div_yield.

rho de dividendos.

Semelhante ao rho de doméstico, mas o derivativo é em relação ao rendimento de dividendos, div_yield.

Para obter mais informações sobre entradas e saídas, consulte os documentos de Referência de Função correspondentes acessados ​​a partir do menu principal do FINCAD XL, Referências de documentos / funções. Para obter detalhes sobre o cálculo dos gregos, consulte os Gregos de Opções sobre documentos de taxa de juros, documento FINCAD Math Reference.

Exemplos específicos de contexto são apresentados para avanços quanto e opções de índices e ações.

Exemplo 1: Quanto em frente a um índice de ações.

Considere um contrato a prazo no índice de ações Nikkei 225 medido em US $ ($) multiplicado por 5. Suponha que o índice tenha um valor atual de Ґ18700. Hoje é 1 de agosto de 1997. A data de entrega do contrato é 1 de fevereiro de 1998. Suponha que a taxa de pagamento de dividendos do índice seja de 1% (composto anualmente, Real / 365 (fixo)) e o relevante interesse livre de risco A taxa no Japão é de 2% (composto anualmente, real / 365 (fixo)). Suponha que a volatilidade anual do índice Nikkei seja de 20% e a taxa FX, valor do dólar por unidade de ienes ($ / Ґ), é 0,10. Suponha ainda que a correlação entre o retorno do índice e o da taxa de FX é de 0,1. Use a função aaQuanto_fwd () para obter os seguintes resultados:

preço subjacente (estrangeiro)

taxa FX fixa, moeda nacional por unidade de moeda estrangeira fixa.

volatilidade do subjacente.

volatilidade da taxa de câmbio.

taxa - estrangeiro - anual Actual / 365.

custo de retenção - anual - Actual / 365.

vega do subjacente.

rho da taxa estrangeira.

rho de dividendos.

Exemplo 2: opção de chamada quanto em estoque.

Considere uma opção de compra em uma ação britânica. A opção tem uma recompensa em dólares americanos com uma taxa FX fixa de 5 dólares por uma libra. Suponha que o estoque tenha um preço à vista de 100 (Ј), o preço de exercício é de 90 (Ј). A data de hoje é 1 de agosto de 1997. A data de validade da opção é 1 de fevereiro de 1998. Suponha que a taxa de juros livre de risco da libra esterlina seja de 7% (composta anualmente, real / 365 (fixa)), a dos EUA os dólares são 5% e as ações possuem uma taxa de pagamento de dividendos de 3% (composto anualmente, real / 365 (fixo)). Suponha que a volatilidade anual das ações seja de 20% e a taxa FX é de 10%. Suponha que a correlação entre o retorno do índice e o retorno da taxa de FX seja de 0,5. Use a função aaQuanto_opt () para obter os seguintes resultados:

preço subjacente (estrangeiro)

preço de exercício (estrangeiro)

taxa FX fixa, moeda nacional por unidade de moeda estrangeira fixa.

volatilidade do subjacente.

volatilidade da taxa de câmbio.

taxa - estrangeiro - anual - Actual / 365.

taxa - nacional - anual - Actual / 365.

custo de retenção - anual - Actual / 365.

delta do subjacente.

gama de subjacente.

vega do subjacente.

rho da taxa doméstica.

rho da taxa estrangeira.

rho de dividendos.

Exemplo 3: Quanto opção binária em uma equidade.

Suponhamos, no exemplo 2, que a recompensa da opção é dinheiro ou nada: se a opção na data de vencimento estiver no dinheiro, o detentor da opção recebe um valor fixo de caixa; se o valor da ação estiver fora do dinheiro, então o titular não recebe nada. Suponha que o valor do caixa seja de US $ 20. Use a função aaQuanto_bin_cash para obter os seguintes resultados:

preço subjacente (estrangeiro)

preço de exercício (estrangeiro)

volatilidade do subjacente.

volatilidade da taxa de câmbio.

taxa - estrangeiro - anual - Actual / 365.

taxa - nacional - anual - Actual / 365.

delta do subjacente.

gama de subjacente.

vega do subjacente.

rho da taxa doméstica.

rho da taxa estrangeira.

rho de dividendos.

Referências.

[2] Hull, John, (1997), Opções, Futuros e Outros Derivados, 3ª ed., Upper Saddle River, Prentice Hall.

Com relação a este documento, a FinancialCAD ​​Corporation ("FINCAD") não oferece nenhuma garantia, expressa ou implícita, incluindo, mas não limitado a, qualquer garantia implícita de comercialização ou adequação para uma finalidade específica. Em nenhum caso, a FINCAD será responsável por qualquer pessoa por danos especiais, colaterais, incidentais ou conseqüentes relacionados com ou decorrentes do uso deste documento ou as informações nele contidas. Este documento não deve ser confiado como um substituto para sua própria pesquisa independente ou o conselho de seus consultores financeiros, contábeis ou outros profissionais.

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Preços consistentes das opções FX.

15 páginas postadas: 5 de janeiro de 2006.

Antonio Castagna.

Fabio Mercurio.

Nos mercados atuais, as opções com diferentes greves ou vencimentos geralmente têm preços com diferentes volatilidades implícitas. Este fato estilizado, que é comumente referido como "efeito misil", pode ser acomodado recorrendo a modelos específicos, seja para preços de derivados exóticos ou para inferir volatilidades implícitas para ataques ou vencimentos não cotados. A primeira tarefa geralmente é alcançada através da introdução de dinâmicas alternativas para o preço do ativo subjacente, enquanto a última é frequentemente abordada por meio de ajustes estáticos ou interpolações.

Palavras-chave: opção FX, sorriso, consisten preços, volatilidade estocástica.

Antonio Castagna (Autor do Contato)

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7º andar, casa de Hume.

Fabio Mercurio.

Bloomberg L. P. ()

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